POLE A · PHYSICS
Surfaceology
曲面幾何としての散乱振幅
時空も Feynman 図も一度は消去する。
punctured disk 上の非交叉曲線と、その辺長パラメータ uij だけを残す。
振幅は、u ≥ 0 という正値性が張る組合せ多面体上の積分として、Feynman 展開なしに一度に立ち上がる。
- discard: spacetime, loops, gauge
- keep : curves on Σg,n
- read : from positivity of u ≥ 0
≅
POLE B · LANGUAGE
Sign, compile-time
静的検証としての Sign 言語
実行時状態も評価順も一度は消去する。
式木 と、その節点に貼られた符号 + / − / 0、および余積 ⊙ と直積 , の 組合せ的関係 だけを残す。
プログラムの意味は、実行せずに 2629→2205 命令、2分→数ミリ秒として 証明的に 読み出される。
- discard: runtime state, order
- keep : expression tree with signs
- read : from positivity of terms
§ 01
The Correspondence — 十の対応
同一の身振りを、二つの語彙で反復する
#
Surfaceology の言葉
≅
Sign の言葉
共有される身振り
01
punctured disk Σ0,n
↔
式木 (AST) with n leaves
組合せ台となる有限離散対象
02
非交叉曲線 γi
↔
部分式 (subterm) の識別
交叉なき分解 = 一意なパース
03
三角分割 T
↔
評価木の左結合形 ((a,b),c)
最大単体細分
04
mutation (flip)
↔
結合則書換 (a,b),c ↦ a,(b,c)
同一構造の被覆間の遷移
05
u 変数 uij
↔
節点の符号 + / − / 0
局所座標 = 局所指標
06
u-方程式 uij = ∏ (1−ukl)
↔
符号伝播規則 sign(f g) = sign f · sign g
大域整合を張る局所法則
07
正値性 uij ≥ 0
↔
型健全性 (well-signedness)
許可される configuration の判定
08
余積 (co-product) of curves
↔
primitive ⊙ (中黒)
選択的合成 (どちらか一方)
09
直積 (concatenation)
↔
カンマ ,
並列合成 (両方)
10
振幅 An = ∫u≥0 Ω
↔
静的意味 ⟦e⟧ (実行前に確定)
動力学なしに読み出される観測量
The shared invariant: positivity read without dynamics.
Surfaceology は、時空・伝播子・ループ和という 動力学 を経由せずに、円板上の非交叉曲線がなす組合せ多面体の 正値領域 から散乱振幅を取り出す。ゲージ選択も摂動展開も、答えを構成する経路ではなく、答えを覆う地図でしかない。
Sign は、評価順序・実行時分岐・GC という 動力学 を経由せずに、式木上の符号 + / − / 0 がなす組合せ関係の 整合領域 からプログラムの意味を取り出す。テスト実行も型推論の反復も、答えを構成する経路ではなく、答えを覆う地図でしかない。
両者に共通するのは、「読み出しは静的である」 という要請そのものである。物理と言語という二つの語彙で、同じ一つの認識論が反復されている。
REFS · Arkani-Hamed et al., Surfaceology (2023-24) · Sign 言語仕様書 (α, 2024-26) · 本モノグラフ § 4-6, § 9-11
Surfaceology · scope
All-loop, all-multiplicity Tr φ³
Feynman 展開なし、単一多面体積分
Sign · optimization
2629 → 2205 instructions
静的符号伝播のみで 16% 縮約 (実測)
Sign · latency
2 min → < 5 ms
検査を実行前に完了 (同一入力)
Shared cost
Combinatorial, polynomial
動力学的シミュレーションを回避